问：用单调性证明不等式？
- 答：那么多方法中，用单调性证明是其中繁锁的方法!
(1)
设f(x)=1+x/2-√(1+x)，则
f'(x)=1/2[1-1/√(1+x)].
易见，x>0时，1-1/√(1+x)>0，
即x>0时f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴f(x)>f(0)，
1+x/2-√(1+x)>0，
∴1+x/2>√(1+x).
(2)
x>0，则x²/4>0，
两边加上1+x，则
1+x+x²/4>1+x，
即(1+x/2)²>1+x，
两边开方，即
1+x/2>√(1+x).
(3)
1+x/2>√(1+x)
⇔(1+x/2)²>1+x
⇔1+x+x²/4>1+x
⇔x²/4>0.
上式显然成立，
且每一步都可逆，
故原不等式成立。
还可用反证法等等。
问：利用单调性证明不等式
- 答：设f(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x)
则f(x)=ln(x+1)-lnx-1/(1+x)
∴f'(x)=1/(1+x)-1/x+1/(1+x)²
=-1/[x(1+x)²]
＜0
∴f(x)单调递减。
∵lim(x→+∞)f(x)=0
∴x＞0时，f(x)＞0
即：ln(1+1/x)＞1/(1+x) - 答：e^x>1+x(x>0)
证明：
f(x)=e^x-(x+1)
f'(x)
=[e^x-(x+1)]'
=e^x-1
>0
∴ f(x)在(0，+∞)上单调递增
∴ f(x)>f(0)=0
∴ e^x>x+1(x>0)
证明完毕 - 答：设x=1/t(详见图片)
问：利用单调性证明不等式
- 答：当X小于等于0时，e^x可以表示为1/(e^|x|)，如果要证明e^x≤1/（1-x），实际就变成了
1/(e^|x|)≤1/（1-x），而实际上就是要证明e^|x|≥1-x，也就是[e^|x|]+x-1≥0
设f(x)=[e^|x|]+x-1（x小于等于0），当x=0的时候，f(x)=0，接下来你只要对f(x)求导，证明当x小于等于0的时候，函数单调递增，那么就可以知道x小于等于0的时候，f(x)≥0恒成立，自然就可以推导出来这个结果了 - 答：两边同乘1-x，移项，令f(x)=e＾x（1-x）-1
你要证的就是f（x）＜=0
求导数f'（x）=-xe＾x大于等于0
f（x）单调增，f（x）＜=f（0）=0
即证
